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(2012•潍坊二模)对于定义域为D的函数f(x),若存在区间M=[a,b]⊆D(a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的“等值区间”.给出下列四个函数:①f(x)=2x;②f(x)=x
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(2012•潍坊二模)对于定义域为D的函数f(x),若存在区间M=[a,b]⊆D(a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的“等值区间”.给出下列四个函数:
①f(x)=2x;②f(x)=x3;③f(x)=sinx;④f(x)=log2x+1.
则存在“等值区间”的函数的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①f(x)=2x;②f(x)=x3;③f(x)=sinx;④f(x)=log2x+1.
则存在“等值区间”的函数的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
▼优质解答
答案和解析
①对于函数f(x)=2x,若存在“等值区间”[a,b],由于函数是定义域内的增函数,故有2a=a,2b=b,
即方程2x=x有两个解,即y=2x和y=x的图象有两个交点,这与y=2x和y=x的图象没有公共点相矛盾,故①不存在
“等值区间”.
②对于函数f(x)=x3存在“等值区间”,如 x∈[0,1]时,f(x)=x3∈[0,1].
③对于函数f(x)=sinx,若正弦函数存在等值区间[a,b],则在区间[a,b]上有sina=a,sinb=b,由正弦函数的值域知道[a,b]⊆[-1,1],但在区间]⊆[-1,1]上仅有sin0=0,所以函数f(x)=sinx没有“等值区间”;
④对于 f(x)=log2x+1,由于函数是定义域内的增函数,故在区间[1,2]上有f(1)=1,f(2)=2,所以函数存在“等值区间”[1,2].
故选B
即方程2x=x有两个解,即y=2x和y=x的图象有两个交点,这与y=2x和y=x的图象没有公共点相矛盾,故①不存在
“等值区间”.
②对于函数f(x)=x3存在“等值区间”,如 x∈[0,1]时,f(x)=x3∈[0,1].
③对于函数f(x)=sinx,若正弦函数存在等值区间[a,b],则在区间[a,b]上有sina=a,sinb=b,由正弦函数的值域知道[a,b]⊆[-1,1],但在区间]⊆[-1,1]上仅有sin0=0,所以函数f(x)=sinx没有“等值区间”;
④对于 f(x)=log2x+1,由于函数是定义域内的增函数,故在区间[1,2]上有f(1)=1,f(2)=2,所以函数存在“等值区间”[1,2].
故选B
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