（2014•泉州模拟）如图所示，空间中有一处于竖直方向的圆柱形磁场区域，取圆柱的竖直轴线为x轴，原点为O，该竖直轴线也是空间磁场的旋转对称轴，且磁场大致指向想x轴正方向，磁感应

Question

（2014•泉州模拟）如图所示，空间中有一处于竖直方向的圆柱形磁场区域，取圆柱的竖直轴线为x轴，原点为O，该竖直轴线也是空间磁场的旋转对称轴，且磁场大致指向想x轴正方向，磁感应强度沿x轴分量B_x=C-|kx|，式子中C、k为已知常数，且保证足够大空间范围内B_x＞O．一个半径为r的细线圈水平置于O处，其中心轴线与轴重合，线圈质量为m，单位长度的电阻为λ．将线圈由O处静止释放，线圈下落过程中其轴线始终与x轴重合，当线圈下降高度h时速度大小为v，不考虑线圈的自感和空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）线圈下落h过程中产生的热量Q；
（2）线圈下落h时感应电流I的大小和方向；
（3）线圈最终的稳定速度v_m的大小．

Answer 1

（1）根据能量守恒定律，重力势能的减小，转化为动能与热能，则得：Q=mgh-(1)/(2)mυ²；                                   
（2）穿过线圈的磁通量Φ=πr²B_x=πr²（C-kx）                                  
设在极短的△t时间内，线圈由x₁=h处下落到x₂=h+△x处，则磁通量减少量
△Φ=Φ₁-Φ₂=πr²k△x                                                    
据法拉第电磁感应定律，线圈产生的感应电动势E=(△Φ)/(△t)=πr²k(△x)/(△t)            
根据速度定义υ=(△x)/(△t)                                                 
得 E=πr²kv                                                          
线圈总电阻R=2πrλ                                                   
根据闭合电路欧姆定律，线圈中感应电流大小I=(E)/(R)＝(rkv)/(2λ)                 
根据楞次定律，线圈中感应电流的方向为顺时针方向（顺着x轴正方向看）    
（3）设线圈所在处的磁感应强度沿线圈半径方向的分量为B_r，从线圈切割磁感线的角度可得
感应电动势大小  E=B_r•2πr•v                                          
得 B_r=(k)/(2)r                                                          
线圈所受安培力大小 F=B_rI•2πr=(πk2r3v)/(2λ)                               
当线圈速度达到最大时，安培力和重力相等，即  (πk2r3v)/(2λ)=mg                
解得线圈最大速度  v_m=(2λmg)/(πk2r3)     
答：（1）线圈下落h过程中产生的热量Q=mgh-(1)/(2)mυ²；
（2）线圈下落h时感应电流I的大小(rkv)/(2λ)和方向顺时针方向（顺着x轴正方向看）；
（3）线圈最终的稳定速度v_m的大小v_m=(2λmg)/(πk2r3)．