二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（-1，0）、B（4，0）（1）求此二次函数的表达式（2）如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（-76，0），动

Question

二次函数y=ax²+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（-1，0）、B（4，0）
（1）求此二次函数的表达式
（2）如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（-(7)/(6)，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标
（3）如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若∠PMA=45°，求点P的坐标．

Answer 1

（1）当x=0时，y=4，
∴C（0，4）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），将点C的坐标代入得：-4a=4，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x+4．
（2）x=-(b)/(2a)=(3)/(2)．
∴CD=(3)/(2)，EF=(8)/(3)．
设点N的坐标为（0，a）则ND=4-a，NE=a．
当△CDN∽△FEN时，(EM)/(DN)=(EF)/(CD)，即(a)/(4-a)=(′16)/(9)，解得a=(64)/(25)，
∴点N的坐标为（0，(64)/(25)）．
当△CDN∽△NEF时，(CD)/(NE)=(DN)/(EF)，即((3)/(2))/(a)=(4-a)/((8)/(3))，解得：a=2．
∴点N的坐标为（0，2）．
综上所述，点N的坐标为（0，(64)/(25)）或（0，2）．
（3）如图所示：过点A作AD∥y轴，过点M作DM∥x轴，交点为D，过点A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥x轴，垂足为F，连结EM交抛物线与点P．

∵AM=AE，∠MAE=90°，
∴∠AMP=45°．
将x=1代入抛物线的解析式得：y=6，
∴点M的坐标为（1，6）．
∴MD=2，AD=6．
∵∠DAM+∠MAF=90°，∠MAF+∠FAE=90°，
∴∠DAM=∠FAE．
在△ADM和△AFE中，

∠D=∠AFE=90°

∠DAM=∠FAE

AM=AE

，
∴△ADM≌△AFE．
∴EF=DM=2，AF=AD=6．
∴E（5，-2）．
设EM的解析式为y=kx+b．
将点M和点E的坐标代入得：

k+b=6

5k+b=-2

，解得k=-2，b=8，
∴直线EM的解析式为y=-2x+8．
将y=-2x+8与y=-x²+3x+4联立，解得：x=1或x=4．
将x=4代入y=-2x+8得：y=0．
∴点P的坐标为（4，0）．