（2012•泉州模拟）设函数f（x）=ax2+lnx．（Ⅰ）当a=-1时，求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）已知a＜0，若函数y=f（x）的图象总在直线y＝−12的下方，求a的取值范

Question

（2012•泉州模拟）设函数f（x）=ax²+lnx．
（Ⅰ）当a=-1时，求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）已知a＜0，若函数y=f（x）的图象总在直线y＝−(1)/(2)的下方，求a的取值范围；
（Ⅲ）记f′（x）为函数f（x）的导函数．若a=1，试问：在区间[1，10]上是否存在k（k＜100）个正数x₁，x₂，x₃…x_k，使得f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）+…+f′（x_k）≥2012成立？请证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-x²+lnx，f′(x)＝−2x+(1)/(x)，f′（1）=-1，
所以切线的斜率为-1．…（2分）
又f（1）=-1，所以切点为（1，-1）．
故所求的切线方程为：y+1=-（x-1）即x+y=0．…（4分）
（Ⅱ）f′(x)＝2ax+(1)/(x)＝(2ax2+1)/(x)＝(2a(x2+(1)/(2a)))/(x)，x＞0，a＜0．…（6分）
令f′（x）=0，则x＝√(−(1)/(2a))．
当x∈(0，√(−(1)/(2a))]时，f′（x）＞0；当x∈(√(−(1)/(2a))，+∞)时，f′（x）＜0．
故x＝√(−(1)/(2a))为函数f（x）的唯一极大值点，
所以f（x）的最大值为f(√(−(1)/(2a)))=−(1)/(2)+(1)/(2)ln(−(1)/(2a))．…（8分）
由题意有−

作业帮用户 2017-11-09 举报

问题解析

（Ⅰ）当a=-1时，f′(x)＝−2x+

1

(1)/(x)，f′（1）=-1，由此能求出函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程．
（Ⅱ）f′(x)＝2ax+(1)/(x)＝(2ax2+1)/(x)＝(2a(x2+(1)/(2a)))/(x)，x＞0，a＜0．令f′（x）=0，则x＝√(−(1)/(2a))．由此能求出a的取值范围．
（Ⅲ）当a=1时，f′(x)＝2x+(1)/(x)．记g（x）=f′（x），其中x∈[1，10]．由此入手能够推导出在区间[1，10]上不存在使得f'（x₁）+f'（x₂）+f'（x₃）+…+f'（x_k）≥2012成立的k（k＜100）个正数x₁，x₂，x₃…x_k．

名师点评

本题考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：

本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．

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