（2014•安庆模拟）设函数f（x）=2sinφcos2x+cosφsin2x-sinφ（0＜φ＜π）在x=π6时取得最大值．（1）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（2）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线x=π1

Question

（2014•安庆模拟）设函数f（x）=2sinφcos²x+cosφsin2x-sinφ（0＜φ＜π）在x=(π)/(6)时取得最大值．
（1）求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（2）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线x=(π)/(12)对称，求函数g（x）的单调递增区间．

Answer 1

（1）f（x）=2sinφcos²x+cosφsin2x-sinφ
=sinφ（1+cos2x）+cosφsin2x-sinφ
=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin（2x+φ）．
∵x=(π)/(6)时f（x）求得最大值，
∴2×(π)/(6)+φ＝2kπ+(π)/(2)，即φ＝2kπ+(π)/(6)．
又因0＜φ＜π，所以=(π)/(6)．
于是函数f（x）的解析式为f(x)＝sin(2x+(π)/(6))，其最小正周期为π；
（2）设（x，y）是函数g（x）图象上任一点，
则其关于直线x＝(π)/(12)的对称点为((π)/(6)−x，y)，该点在函数f（x）的图象上，
∴y＝sin[2((π)/(6)−x)+(π)/(6)]＝sin((π)/(2)−2x)＝cos2x，
于是g（x）=cos2x．
由2kπ-π≤2x≤2kπ，解得kπ−(π)/(2)≤x≤kπ，k∈Z．
∴函数g（x）的单调递增区间为[kπ−(π)/(2)，kπ](k∈Z)．