（2014•镇江二模）已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1=1，Sn+1=an+1anSn+（λ•3n+1）an+1（n∈N*）．（1）若λ=0，求数列{an}的通项公式；（2）若an+1＜12an对一切n∈N*

Question

（2014•镇江二模）已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：a₁=1，S_n+1=(an+1)/(an)S_n+（λ•3ⁿ+1）a_n+1（n∈N^*）．
（1）若λ=0，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n+1＜(1)/(2)a_n对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）λ=0时，Sn+1＝(an+1)/(an)Sn+an+1
∴Sn＝(an+1)/(an)Sn
∵a_n＞0，S_n＞0
∴a_n+1=a_n，
∵a₁=1，
∴a_n=1
（2）∵S_n+1=(an+1)/(an)S_n+（λ•3ⁿ+1）a_n+1（n∈N^*）．
∴(Sn+1)/(an+1)−(Sn)/(an)＝λ3n+1，
则(S2)/(a2)−(S1)/(a1)＝λ•3+1，(S3)/(a3)−(S2)/(a2)＝λ•32+1，
∴(Sn)/(an)−(Sn−1)/(an−1)＝λ3n−1+1．
相加得(Sn)/(an)−1＝λ(3+32+…+3n−1)+n−1．
则Sn＝(λ•(3n−3)/(2)+n)•an，(n≥2)
上式对n=1也成立．
∴Sn＝(λ•(3n−3)/(2)+n)•an，
S

作业帮用户 2017-10-09 举报