（2011•盐城模拟）（本题文科学生做）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1（-4，0），F2（4，0），A（0，8），直线y=t（0＜t＜8）与线段AF1、AF2分别交于点P、Q．（Ⅰ）当t=3时，求以F1，F2为

Question

（2011•盐城模拟）（本题文科学生做）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F₁（-4，0），F₂（4，0），A（0，8），直线y=t（0＜t＜8）与线段AF₁、AF₂分别交于点P、Q．
（Ⅰ）当t=3时，求以F₁，F₂为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点Q作直线QR∥AF₁交F₁F₂于点R，记△PRF₁的外接圆为圆C．
①求证：圆心C在定直线7x+4y+8=0上；
②圆C是否恒过异于点F₁的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)，当t=3时，PQ中点为（0，3），所以b=3
∵a²-b²=16，∴a²=25
∴椭圆的标准方程为(x2)/(25)+(y2)/(9)＝1；
（Ⅱ）①证明：直线AF₁：y=2x+8；AF₂：y=-2x+8；
所以可得P（(t−8)/(2)，t），Q（(8−t)/(2)，t）
∵直线QR∥AF₁交F₁F₂于点R，∴R（4-t，0）
设△PRF₁的外接圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则

(4−t)2+(4−t)D+F＝0

16−4D+F＝0

((t−8)/(2))2+t2+(t−8)/(2)D+tE+F＝0

∴

D＝t

E＝4−(7)/(4)t

F＝4t−16

∴圆心坐标为(−(t)/(2)，(7t)/(8)−2)
∴圆心C在定直线7x+4y+8=0上；
②由①可得圆C的方程为：x²+y²+tx+（4-(7)/(4)t）y+4t-16=0
整理可得（x²+y²+4y-16）+t（x-