过点M(0,4)做圆O:x²+y²=4的切线l与抛物线F:y²=2px(p>0)交于A,B两点.(1).求直线l的方程（2）.若OA⊥OB（O为坐标原点）,求抛物线F的方程（3）.求（2）中△AOB的面积.

Question

过点M(0,4)做圆O:x²+y²=4的切线l与抛物线F:y²=2px(p>0)交于A,B两点.(1).求直线l的方程（2）.若OA⊥OB（O为坐标原点）,求抛物线F的方程（3）.求（2）中△AOB的面积.

Answer 1

由已知得切线的斜率一定存在,设切线的方程为y=kx+4,即kx-y+4=0,
由于L与圆x2+y2=4相切,
∴圆心到直线L的距离d=4/根号[1+k2]=2,解得k=±根号\x093
当k=\x09根号3时,L的方程为：y=根号 3x+4
联立抛物线y2=2px（p＞0）方程后,易得：x1•x2=16/3
y1•y2=8根号 3/3p
由于以OA垂直OB,
所以x1•x2+y1•y2=0
解得：P=-2根号 3/3（舍去）
当k=-根号 3时,L的方程为：y=-根号 3x+4
联立抛物线y2=2px（p＞0）方程后,易得：x1•x2=16/3
y1•y2=-8\x09根号3/3p
所以x1•x2+y1•y2=0
解得：P=2根号 3/3
综上满足条件的 方程是y^2=4根号3/3 x
(3)设L与X轴的交点是M,(4/根号3,0)
y^2=4根号3/3*(4-y)/根号3=4/3*(4-y)
y^2+4/3y-16/3=0
|y1-y2|^2=(4/3)^2-4*(-16/3)=16/9+64/3=208/9
|y1-y2|=4根号13/3
S(AOB)=1/2*OM*|Y1-Y2|=1/2*4/根号3*4根号13/3=8根号13/(3根号3)=8根号39/9