（2014•保定一模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=π3．（1）求四棱锥A1-BB1C1C的体积；（2）求证：C1B⊥平面ABC．

Question

（2014•保定一模）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，AB=BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=(π)/(3)．
（1）求四棱锥A₁-BB₁C₁C的体积；
（2）求证：C₁B⊥平面ABC．

Answer 1

（1）∵AB⊥侧面BB₁C₁C，且AB∥A₁B₁，∴四棱锥的高h=AB=1 …（2分）
又S_底面=2•(1)/(2)CB•CC1•sin∠C1CB＝√(3)…（4分）
∴四棱锥的体积为(1)/(3)•√(3)•1＝(√(3))/(3)…（6分）
（2）证明：在△BCC₁中，
∵BC=1，CC₁=2，∠BCC₁=(π)/(3)，
∴BC₁=√(1+4−2•1•2•(1)/(2))=√(3)，
∴∠CBC₁=90°，∴BC⊥BC₁，
∵AB⊥侧面BB₁C₁C，BC₁⊂面BB₁C₁C，
∴BC₁⊥AB，
∵AB∩BC=B，∴BC₁⊥平面ABC．…（12分）