直三棱柱ABC-A1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是（）A．AB1∥平面BDC1B．A1C⊥平面BDC1C．直三棱柱的体积V=4D．直三棱柱的外接球的表面积为43π

Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是（　　）

A．AB₁∥平面BDC₁
B．A₁C⊥平面BDC₁
C．直三棱柱的体积V=4
D．直三棱柱的外接球的表面积为4√(3)π

Answer 1

取A₁C₁中点O，连接OB₁，AO，∵D为AC的中点，∴四边形DAOC₁为平行四边形，
∴AO∥C₁D，又四边形BDOB₁为平行四边形，∴BD∥OB₁，∴平面AOB₁∥平面BDC₁，AB₁⊂平面AOB₁，
∴AB₁∥平面BDC₁．
∵由三视图知A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BC₁⊂平面BCC₁B₁，∴A₁B₁⊥BC₁，CB₁⊥BC₁
∴BC₁⊥平面A₁B₁C，∴BC₁⊥A₁C；
∵由侧视图知△ABC为等腰直角三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴A₁C⊥BD，又BD∩BC₁=B，
∴A₁C⊥平面BDC₁．故B正确；
由三视图知：直三棱柱的高为2，底面是直角边长为2的等边三角形，∴体积V=(1)/(2)×2×2×2=4，∴C正确；
由直三棱柱的结构特征知，直三棱柱为正方体的一半，∴外接球的半径R=(√(3×22))/(2)=√(3)，
∴外接球的表面积S=4π×3=12π，∴D错误；
故选D．