南充市某商场在经营某种商品的80天内发现：其销售量和价格均是时间x的函数．其中销售量满足f（x）=−12x+40（0＜x≤80，x∈N+），在前40天内价格为g1（x）=14x+10，（0＜x≤40，x∈N+），在后4

Question

南充市某商场在经营某种商品的80天内发现：其销售量和价格均是时间x的函数．其中销售量满足f （x）=−(1)/(2)x+40（0＜x≤80，x∈N₊），在前40天内价格为g₁（x）=(1)/(4)x+10，（0＜x≤40，x∈N₊），在后40天内价格为g₂（x）=−(1)/(4)x+30（40＜x≤80，x∈N₊）．求这种商品哪天的销售额最大，并求最大值．

Answer 1

依题意，商品价格为分段函数g（x）=

(1)/(4)x+10   x∈(0，40]

−(1)/(4)x+30   x∈(40，80]

，而销售量满足f （x）=−(1)/(2)x+40（0＜x≤80，x∈N₊），
∴前40天的销售额为y=（(1)/(4)x+10）（−(1)/(2)x+40）=-(1)/(8)（x+40）（x-80）=-(1)/(8)（x-20）²+450≤450，（0＜x≤40，x∈N₊）（当且仅当x=20时取等号）
后40天的销售额为y=（−(1)/(4)x+30）（−(1)/(2)x+40）=(1)/(8)（x-120）（x-80）=(1)/(8)（x-100）²-50＜(1)/(8)（40-100）²-50=400
∴这种商品在第20天销售额最大为450元