高数求导问题设f(x)和g(x)是在R上定义的函数,且具有如下性质：（1）f(x＋y)=f(x)g(y)+f(y)g(x);(2)f(x)和g(x)在点x=0处求导,且f(0)=0,g(0)=1,证明：f(x)在R上可导

Question

高数求导问题
设f(x)和g(x)是在R上定义的函数,且具有如下性质：（1）f(x＋y)=f(x)g(y)+f(y)g(x);(2)f(x)和g(x)在点x=0处求导,且f(0)=0,g(0)=1,证明：f(x)在R上可导

Answer 1

由f(x＋y)=f(x)g(y)+f(y)g(x);
得f'(x)=f(x＋dx)/dx=[f(x)g(dx)+f(dx)g(x)]/dx=f'（x)+f(dx)g(x)/dx;
得f(dx)g(x)/dx=0；即g(x)处处可导,
再代回（1）得到f'(x)=f(x)/dx,
因为f(x)是在R上定义的函数,
所以f'(x)处处有定义,处处可导.