（2014•咸宁）如图1，P（m，n）是抛物线y=x24-1上任意一点，l是过点（0，-2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．探究（1）填空：当m=0时，OP=11，PH=11；当m=4时，OP=55，PH=55；

Question

（2014•咸宁）如图1，P（m，n）是抛物线y=(x2)/(4)-1上任意一点，l是过点（0，-2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．
【探究】
（1）填空：当m=0时，OP=11，PH=11；当m=4时，OP=55，PH=55；
【证明】
（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．
【应用】
（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=(x2)/(4)-1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．

Answer 1

（1）OP=1，PH=1；OP=5，PH=5．
如图1，记PH与x轴交点为Q，

当m=0时，P（0，-1）．此时OP=1，PH=1．
当m=4时，P（4，3）．此时PQ=3，OQ=4，
∴OP=

PQ2+OQ2

=5，PH=y_P-（-2）=3-（-2）=5．

（2）猜想：OP=PH．
证明：过点P作PQ⊥x轴于Q，
∵P在二次函数y=(x2)/(4)-1上，
∴设P（m，(m2)/(4)-1），则PQ=|(m2)/(4)-1|，OQ=|m|，
∵△OPQ为直角三角形，
∴OP=

PQ2+OQ2

=

((m2)/(4)−1)2+m2

=

((m2)/(4))2+(m2)/(2)+1

=

((m2)/(4)+1)2

=(m2)/(4)+1，
  PH=y_P-（-2）=（(m2)/(4)-1）-（-2）=(m2)/(4)+1，
∴OP=PH．

（3）如图2，连接OA，OB，过点A作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，此时AC即为A点到l的距离，BD即为B点到l的距离．

①当AB不过O点时，连接OA，OB，
在△OAB中，OA+OB＞AB=6，
由上述结论得：AC=OA，BD=OB，
∴AC+BD＞6；
②当AB过O点时，AC+BD=OA+OB=AB=6，
所以AC+BD的最小值为6，
即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6．