已知点P是圆C：x^2+y^2-6x-8y+21=0上的一个动点,O为坐标原点,直线l1:x+y+1=0.(1)求OP的最大值与最小值；(2)求点P到直线l1的距离的最大值与最小值.(3)过点P作直线l1的平行线l2,求直线l1与l2的距离最小

Question

已知点P是圆C：x^2+y^2-6x-8y+21=0上的一个动点,O为坐标原点,直线l1:x+y+1=0.
(1)求OP的最大值与最小值；(2)求点P到直线l1的距离的最大值与最小值.(3)过点P作直线l1的平行线l2,求直线l1与l2的距离最小时l2的方程

Answer 1

把圆C方程进行配方：﹙x－3﹚²＋﹙y－4﹚²=2².所以圆心C﹙3,4﹚,半径r=2.OC的长度为5.
5-2=3.5+2=7.答：OP最小值为3,OP最大值为7.
圆心C到直线l1的距离为d=﹙|3+4+1|﹚÷√﹙1²+1²﹚=4√2.点P到直线l1的距离最大值为2+4√2.
最小值为4√2－2.
至于,求直线l2,方法很多.可以设为x+y+t=0,令它与圆相切,△=0,求出t来（一大一小,取小的）.
也可以从C向l2作垂线,找出与圆的交点P,再引平行线.等等.方法多.
还可以求C到直线l1的距离,（已经求了）,再减去半径2,就是平行线的距离PH.套一下平行线的距离公式就可以了.
我们用从C引垂线的老方法做一下.
直线l1的斜率为-1,垂线的斜率为+1,又过点C（3,4）,所以我们可以写出此垂线的方程
y-4=1×(x-3).即y=x+1.它与圆联立,求出交点P.P(3±√2,4±√2),取小的值.（与直线l1近）
依然用点斜式,y-(4-√2)=-1×(x-(3-√2)),化简一下即可.