在直角坐标系xOy中，已知点O、A、B、C分别表示复数0，1+i，2+3i，3+2i，点P（x，y）在三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若PA+PB+PC=0，求|OP|；（Ⅱ）设OP=mAB+nAC（m，n∈R），用x，y表示m-n，并

Question

在直角坐标系xOy中，已知点O、A、B、C分别表示复数0，1+i，2+3i，3+2i，点P（x，y）在三边围成的区域（含边界）上．
（Ⅰ）若

PA

+

PB

+

PC

=

0

，求|

OP

|；
（Ⅱ）设

OP

=m

AB

+n

AC

（m，n∈R），用x，y表示m-n，并求m-n的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），

PA

+

PB

+

PC

=

0

，
∴（1-x，1-y）+（2-x，3-y）+（3-x，2-y）=（0，0），
∴3x-6=0，3y-6=0，∴x=2，y=2，
∴

OP

=（2，2），
∴|

OP

|=2√(2)；
（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），
∴

AB

=（1，2），

AC

=（2，1），
∵

OP

=m

AB

+n

AC

（m，n∈R），
∴（x，y）=（m+2n，2m+n），
∴x=m+2n，y=2m+n，
∴m+n=y-x，
令y-x=t，由图可知，直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，
∴m-n的最大值为1．