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(2014•随州)已知:如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点.(1)求证:△ABM≌△DCM;(2)填空:当AB:AD=时,四边形MENF是正方形.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f703738da9773912971751d5fb198618367ae255.jpg)
(1)求证:△ABM≌△DCM;
(2)填空:当AB:AD=______时,四边形MENF是正方形.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7dd98d1001e9390173169f8c78ec54e736d1966f.jpg)
∴AB=DC,∠A=∠D=90°,
∵M为AD的中点,
∴AM=DM,
在△ABM和△DCM中
∴△ABM≌△DCM(SAS).
(2)当AB:AD=1:2时,四边形MENF是正方形,
理由是:∵AB:AD=1:2,AM=DM,AB=CD,
∴AB=AM=DM=DC,
∵∠A=∠D=90°,
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°,
∴∠BMC=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠DCB=90°,
∴∠MBC=∠MCB=45°,
∴BM=CM,
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点,
∴BE=CF,ME=MF,NF∥BM,NE∥CM,
∴四边形MENF是平行四边形,
∵ME=MF,∠BMC=90°,
∴四边形MENF是正方形,
即当AB:AD=1:2时,四边形MENF是正方形,
故答案为:1:2.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7dd98d1001e9390173169f8c78ec54e736d1966f.jpg)
∴AB=DC,∠A=∠D=90°,
∵M为AD的中点,
∴AM=DM,
在△ABM和△DCM中
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∴△ABM≌△DCM(SAS).
(2)当AB:AD=1:2时,四边形MENF是正方形,
理由是:∵AB:AD=1:2,AM=DM,AB=CD,
∴AB=AM=DM=DC,
∵∠A=∠D=90°,
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°,
∴∠BMC=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠DCB=90°,
∴∠MBC=∠MCB=45°,
∴BM=CM,
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点,
∴BE=CF,ME=MF,NF∥BM,NE∥CM,
∴四边形MENF是平行四边形,
∵ME=MF,∠BMC=90°,
∴四边形MENF是正方形,
即当AB:AD=1:2时,四边形MENF是正方形,
故答案为:1:2.
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