（2013•宜昌模拟）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，AB与CD交于点E．（1）若AB=8，AD=4，求AE的长；（2）点P为线段AC上的任意一点，PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，若PM+PN=4，DE=3，求△AEC的面积．

Question

（2013•宜昌模拟）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，AB与CD交于点E．
（1）若AB=8，AD=4，求AE的长；
（2）点P为线段AC上的任意一点，PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，若PM+PN=4，DE=3，求△AEC的面积．

Answer 1

（1）补全矩形ABCD如图所示，
由翻折的性质得，∠BAC=∠B′AC，
∵矩形ABCD的边AB′∥CD，
∴∠B′AC=∠ACD，
∴∠ACD=∠BAC，
∴AE=CE，
设AE=CE=x，
则DE=CD-CE=AB-CE=8-x，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴AE=5；

（2）过点P作PM′⊥AB′于M′，
∵∠BAC=∠B′AC，PM⊥AB，
∴PM=PM′，
∵PN⊥CD，
∴∠ACD+∠CPN=90°，
又∵∠B′AC+∠APM′=90°，
∴∠APM′=∠CPN，
∴M′、P、N三点共线，
∵PM+PN=4，
∴PM+PN=PM′+PN=AD=4，
在Rt△ADE中，AE=√(AD2+DE2)=√(42+32)=5，
∴CE=AE=5，
∴△AEC的面积=(1)/(2)CE•AD=(1)/(2)×5×4=10．