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如图,风车的支杆OE垂直于桌面,风车中心O到桌面的距离OE为25cm,小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动,转动过程中,叶片端点A、B、C、D在同一圆O上,已知⊙O的半径为10cm.(1)风车
题目详情
如图,风车的支杆OE垂直于桌面,风车中心O到桌面的距离OE为25cm,小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动,转动过程中,叶片端点A、B、C、D在同一圆O上,已知⊙O的半径为10cm.
(1)风车在转动过程中,点A到桌面的最远距离为______cm,最近距离为______cm.
(2)风车在转动过程中,当∠AOE=45°时,求点A到桌面的距离(结果保留根号).
(3)在风车转动一周的过程中,求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长(结果保留π).
(1)风车在转动过程中,点A到桌面的最远距离为______cm,最近距离为______cm.
(2)风车在转动过程中,当∠AOE=45°时,求点A到桌面的距离(结果保留根号).
(3)在风车转动一周的过程中,求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长(结果保留π).
▼优质解答
答案和解析
(1)点A到最上面时到桌面的距离最远,此时最远距离=OE+OA=35cm,
点A到最下面时到桌面的距离最近,此时最近距离=OE-OA=15cm,
(2)如图1,点A运动到点A1的位置时∠AOE=45°,
作A1F⊥MN于点F,A1G⊥OE于点G,
∴A1F=GE,
在Rt△A1OG中,
∵∠A1OG=45°,OA1=10,
∴OG=OA1•cos45°=10×
=5
,
∵OE=25,
∴GE=OE-OG=25-5
,
∴A1F=GE=25-5
,
∴点A到桌面的距离是(25-5
)厘米.
(3)如图2,点A在旋转过程中运动到点A2、A3的位置时,点A到桌面的距离等于20厘米.
作A2H⊥MN于H,则A2H=20,
作A2D⊥OE于点D,
∴DE=A2H,
∵OE=25,
∴OD=OE-DE=25-20=5.
在Rt△A2OD中,
∵OA2=10,
∴cos∠A2OD=
=
=
.
∴∠A2OD=60°,
由圆的轴对称性可知,∠A3OA2=2∠A2OD=120°,
∴点A所经过的路径长为
=
.
点A到最下面时到桌面的距离最近,此时最近距离=OE-OA=15cm,
(2)如图1,点A运动到点A1的位置时∠AOE=45°,
作A1F⊥MN于点F,A1G⊥OE于点G,
∴A1F=GE,
在Rt△A1OG中,
∵∠A1OG=45°,OA1=10,
∴OG=OA1•cos45°=10×
| ||
2 |
2 |
∵OE=25,
∴GE=OE-OG=25-5
2 |
∴A1F=GE=25-5
2 |
∴点A到桌面的距离是(25-5
2 |
(3)如图2,点A在旋转过程中运动到点A2、A3的位置时,点A到桌面的距离等于20厘米.
作A2H⊥MN于H,则A2H=20,
作A2D⊥OE于点D,
∴DE=A2H,
∵OE=25,
∴OD=OE-DE=25-20=5.
在Rt△A2OD中,
∵OA2=10,
∴cos∠A2OD=
OD |
OA2 |
5 |
10 |
1 |
2 |
∴∠A2OD=60°,
由圆的轴对称性可知,∠A3OA2=2∠A2OD=120°,
∴点A所经过的路径长为
120π×10 |
180 |
20π |
3 |
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