（2014•郴州三模）已知函数y=sin4x+cos4x（x∈R）的值域是[12，1]，则（1）函数y=sin6x+cos6x（x∈R）的值域是[14，1][14，1]；（2）类比上述结论，函数y=sin2nx+cos2nx（n∈N*）的值域是[12n−1，1][12n−1

Question

（2014•郴州三模）已知函数y=sin⁴x+cos⁴x（x∈R）的值域是[(1)/(2)，1]，则
（1）函数y=sin⁶x+cos⁶x（x∈R）的值域是

[(1)/(4)，1]

[(1)/(4)，1]

；
（2）类比上述结论，函数y=sin²ⁿx+cos²ⁿx（n∈N^*）的值域是

[(1)/(2n−1)，1]

[(1)/(2n−1)，1]

．

Answer 1

（1）y=sin⁶x+cos⁶x
=（sin²x+cos²x）（sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x）
=sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x
=（sin²x+cos²x）-3sin²xcos²x
=1-(3)/(4)sin²2x
=(5)/(8)+(3)/(8)cos4x，
故函数y=sin⁶x+cos⁶x（x∈R）的值域是[(1)/(4)，1]；
（2）由函数y=sin²x+cos²x（x∈R）的值域是{1}，
函数y=sin⁴x+cos⁴x（x∈R）的值域是[(1)/(2)，1]，
函数y=sin⁶x+cos⁶x（x∈R）的值域是[(1)/(4)，1]，
…
由此归纳可得：y=sin²ⁿx+cos²ⁿx（n∈N^*）的值域是[(1)/(2n−1)，1]，
故答案为：[(1)/(4)，1]，[(1)/(2n−1)，1]