（2014•郴州二模）如图，以椭圆C：x24+y2=1的左顶点T为圆心作圆T与椭圆C交于点M，N．（Ⅰ）求TM•TN的最小值，并求此时圆T的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分

Question

（2014•郴州二模）如图，以椭圆C：(x2)/(4)+y²=1的左顶点T为圆心作圆T与椭圆C交于点M，N．
（Ⅰ）求

TM

•

TN

的最小值，并求此时圆T的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别于x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．

Answer 1

（Ⅰ）∵点M与点N关于x轴对称，
设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），不妨设y₁＞0，
由于点M在椭圆G上，∴y12＝1−(x12)/(4)，（*）
由已知T（-2，0），则

TM

=（x₁+2，y₁），

TN

=（x₁+2，-y₁），
∴

TM

•

TN

=（x₁+2，y₁）•（x₁+2，-y₁）=（x₁+2）²-y12=（x₁+2）²-（1-(x12)/(4)）=(5)/(4)x12+4x₁+3=(5)/(4)(x1+(8)/(5))2−(1)/(5)，
∵-2＜x₁＜2，
∴当x1＝−(8)/(5)时，

TM

•

TN

取得最小值为-(1)/(5)，
由（*）式y1＝(3)/(5)，
又点M在圆T上，代入圆的方程，得r²=(13)/(25)，
故圆T的方程为（x+2）²+y²=(13)/(25)．
（Ⅱ）证明：设P（x₀，y₀），则直线MP的方程为：y-y₀=(y0−y1)/(x0−x1)(x−x0)，
令y=0，得xR＝(x1y0−x0y1)/(y0−y1)，
同理，xS＝(x1y0+x0y1)/(y0+y1)，
故x_R•x_S=(x12y02−x02y12)/(y02−y12)，（**）
又点M与点P在椭圆上，
∴x02＝4(1−y02)，x12＝4(1−y12)，
代入（**）式，
得x_R•x_S=(4(1−y12)y02−4(1−y02)y12)/(y02−y12)=(4(y02−y12))/(y02−y12)＝4．
∴|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4为定值．