(2014•郴州二模)如图,以椭圆C:x24+y2=1的左顶点T为圆心作圆T与椭圆C交于点M,N.(Ⅰ)求TM•TN的最小值,并求此时圆T的方程;(Ⅱ)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分
(2014•郴州二模)如图,以椭圆C:+y2=1的左顶点T为圆心作圆T与椭圆C交于点M,N.
(Ⅰ)求•的最小值,并求此时圆T的方程;
(Ⅱ)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别于x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:|OR|•|OS|为定值.
答案和解析
(Ⅰ)∵点M与点N关于x轴对称,
设M(x
1,y
1),N(x
1,-y
1),不妨设y
1>0,
由于点M在椭圆G上,∴
y12=1−,(*)
由已知T(-2,0),则=(x1+2,y1),=(x1+2,-y1),
∴•=(x1+2,y1)•(x1+2,-y1)=(x1+2)2-y12=(x1+2)2-(1-)=x12+4x1+3=(x1+)2−,
∵-2<x1<2,
∴当x1=−时,•取得最小值为-,
由(*)式y1=,
又点M在圆T上,代入圆的方程,得r2=,
故圆T的方程为(x+2)2+y2=.
(Ⅱ)证明:设P(x0,y0),则直线MP的方程为:y-y0=(x−x0),
令y=0,得xR=,
同理,xS=,
故xR•xS=,(**)
又点M与点P在椭圆上,
∴x02=4(1−y02),x12=4(1−y12),
代入(**)式,
得xR•xS=4(1−y12)y02−4(1−y02)y12 |
y02−y12 |
==4.
∴|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值.
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