椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率e=32．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C上异于A、B两点的任意一点P作PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q，且PQ=

Question

椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率e=(√(3))/(2)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C上异于A、B两点的任意一点P作PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q，且PQ=PH，过点B作直线l⊥x轴，连结AQ并延长交直线l于点M，线段MB的中点记为点N．
①求点Q所在曲线的方程；
②试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系，并证明．

Answer 1

（1）由点（0，1）是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率e=(√(3))/(2)，
∴b=1，(√(3))/(2)=√(1−(b2)/(a2))，解得b=1，a²=4．
∴椭圆的标准方程为(x2)/(4)+y2＝1．
（2）①设P（x₀，y₀），Q（x，y）．
∵HP=PQ，∴

x＝x0

y＝2y0

．
∴x₀=x，y₀=(1)/(2)y
∴(x2)/(4)+(y2)/(4)＝1，即x²+y²=4．
∴Q点在以O为圆心，2为半径的圆上．即Q点在以AB为直径的圆O上．
②又A（-2，0），
∴直线AQ的方程为y=(2y0)/(x0+2)（x+2）．
令x=2，得M（2，(8y0)/(x0+2)）．
又B（2，0），N为MB的中点，
∴N（2，(4y0)/(x0+2)）．
∴

OQ

=（x₀，2y₀），

NQ

=（x₀-2，(2x0y0)/(x0+2)）），
∴

OQ

•

NQ

=x₀（x₀-2）+(4x0y02)/(x0+2)=x₀（x₀-2）+(x0(4−x02))/(x0+2)
=x₀（x₀-2）+x₀（2-x₀）=0．
∴

OQ

⊥

NQ

．
∴直线QN与圆O相切．