在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E=λEO．（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值．

Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中点，E是线段D₁O上一点，且D₁E=λEO．
（1）若λ=1，求异面直线DE与CD₁所成角的余弦值；
（2）若平面CDE⊥平面CD₁O，求λ的值．

Answer 1

解（1）不妨设正方体的棱长为1，以

DA

，  

DC

，  

DD1

为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
则A（1，0，0），O((1)/(2)，  (1)/(2)，  0)，C（0，1，0），D₁（0，0，1），
E((1)/(4)，  (1)/(4)，  (1)/(2))，
于是

DE

＝((1)/(4)，  (1)/(4)，  (1)/(2))，

CD1

＝(0，  −1，  1)．
由cos〈

DE

，  

CD1

＞=(DE•CD1)/(|DE|•|CD1|)=(√(3))/(6)．
所以异面直线AE与CD₁所成角的余弦值为(√(3))/(6)．（5分）
（2）设平面CD₁O的向量为m=（x₁，y₁，z₁），由m•

CO

=0，m•

CD1

=0
得

(1)/(2)x1−(1)/(2)y1＝0

−y1+z1＝0

取x₁=1，得y₁=z₁=1，即m=（1，1，1）．（7分）
由D₁E=λEO，则E((λ)/(2(1+λ))，  (λ)/(2(1+λ))，  (1)/(1+λ))，

DE

=((λ)/(2(1+λ))，  (λ)/(2(1+λ))，  (1)/(1+λ))．
又设平面CDE的法向量为n=（x₂，y₂，z₂），由n•

CD

=0，n•

DE

=0．
得

y2＝0

(λx2)/(2(1+λ))+(λy2)/(2(1+λ))+(z2)/(1+λ)＝0

取x₂=2，得z₂=-λ，即n=（-2，0，λ）．
因为平面CDE⊥平面CD₁F，所以m•n=0，得λ=2．（10分）