（2013•肇庆二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，且过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为kn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=2kn•an

Question

（2013•肇庆二模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2^k_n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设A={x|x=k_n，n∈N^*}，B={x|x=2a_n，n∈N^*}等差数列{c_n}的任一项c_n∈A∩B，其中c₁是A∩B中的最小数，110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通项公式．

Answer 1

（1）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，
∴S_n=n²+2n（n∈N^*），
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1．
当n=1时，a₁=S₁=3满足上式，所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1（3分）
（2）由f（x）=x²+2x求导可得f′（x）=2x+2
∵过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n，
∴k_n=2n+2．
∴bn＝2knan＝4•(2n+1)•4n．
∴T_n=4×3×4¹+4×5×4²+4×7×4³++4×（2n+1）×4ⁿ①
由①×4，得4T_n=4×3×4²+4×5×4³+4×7×4⁴++4×（2n+1）×4ⁿ⁺¹②
①-②得：-3T_n=4[3×4+2×（4²+4³++4ⁿ）-（2n+1）×4ⁿ⁺¹]=4[3×4+2×(42(1−4n−1))/(1−4)−(2n+1)×4n+1]∴Tn＝(6n+1)/(9)•4n+2−(16)/(9)．（8分）
（3）∵Q={x|x=2n+2，n∈N^*}，R={x|x=4n+2，n∈N^*}，∴Q∩R=R．
又∵c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，
∴c₁=6．
∵{c_n}是公差是4的倍数，
∴c₁₀=4m+6（m∈N^*）．
又∵110＜c₁₀＜115，
∴

110＜4m+6＜115

m∈N*

，解得m=27．
所以c₁₀=114，
设等差数列的公差为d，则d＝(c10−c1)/(10−1)＝(114−6)/(9)＝12，
∴c_n=6+（n+1）×12=12n-6，所以{c_n}的通项公式为c_n=12n-6（14分）