已知△ABC的一条边BC的长为5,另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根．（1）求证：无论k为何值时,方程总有两个不相等的实数根．（2）当△ABC是等腰三角形时,

Question

已知△ABC的一条边BC的长为5,另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+k
2+3k+2=0的两个实数根．
（1）求证：无论k为何值时,方程总有两个不相等的实数根．
（2）当△ABC是等腰三角形时,求K的值．

Answer 1

（1）证明：∵△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1,
∴△＞0,
∴无论k取何值时,方程总有两个不相等的实数根；
（2）设AB,AC长分别为a,b,则a+b=2k+3,ab=k2+3k+2=（k+1）（k+2）
∴ 或 不妨设a=k+1,b=k+2．
∵a2+b2=552,
∴k2+2k+1+k2+4k+4=25．
∴k=2或k=-5．∵k+1>0,k+2>0,
∴k只能取2．
△ABC为等腰三角形,若AB=AC,则a=b,k+1=k+2不成立．
∴必是AB,AC中某一条与BC相等,即5是方程的一根．
若k+1=5,k=4....1三角形三边5,5,6,
若k+2=5,k=3,...2三角形三边为5,5,4