已知P点是三角形ABC内一点,且满足向量AP+2BP+3CP=0.设Q为CP的延长线与AB的交点、令向量CP=p.用p表示向量CQ.

Question

已知P点是三角形ABC内一点,且满足向量AP+2BP+3CP=0.设Q为CP的延长线与AB的交点、令向量CP=p.用p表示向量CQ.

Answer 1

设向量CA=a,向量CB=b,向量CQ=λ*向量CP=λp,(λ为实数),则
向量AP=CP-CA=p-a,向量BP=CP-CB=p-b,
代入已知条件AP+2BP+3CP=0得
(p-a)+2(p-b)+3p=0.
化简得a=6p-2b …………①
又向量AQ=CQ-CA=λp-a,向量BQ=CQ-CB=λp-b,
因为向量AQ与BQ共线,所以令向量AQ=k*向量BQ,(k为实数),则有
λp-a=k(λp-b) …………②
①②联立消去向量a得(λ-kλ-6)p+(k+2)b=0
因为p与b均为不为0的向量,所以有
λ-kλ-6=0且k+2=0
两式联立解得λ=3.
所以向量CQ=3*向量CP.