已知点（x，y）在曲线C上，将此点的纵坐标变为原来的2倍，对应的横坐标不变，得到的点满足方程x2+y2=8；定点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l与曲线C交于A、B两

Question

已知点（x，y）在曲线C上，将此点的纵坐标变为原来的2倍，对应的横坐标不变，得到的点满足方程x²+y²=8；定点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l与曲线C交于A、B两个不同点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求m的取值范围．

Answer 1

（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），
则点（x，2y）在圆x²+y²=8上．
所以有x²+（2y）²=8．
整理得曲线C的方程为(x2)/(8)+(y2)/(2)＝1．
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，
又KOM＝(1)/(2)，
∴直线l的方程为y＝(1)/(2)x+m．
由

y＝(1)/(2)x+m

(x2)/(8)+(y2)/(2)＝1.

，
得x²+2mx+2m²-4=0
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
解得-2＜m＜2且m≠0．
∴m的取值范围是-2＜m＜0或0＜m＜2．