设向量组（Ⅰ）α1=（1，-2，-1）T，α2=（-2，a+3，2）T，α3=（-1，0，b-1）T，（Ⅱ）β1=（-1，4，1）T，β2=（3，-6，a-4）T，β3=（1，b-4，-1）T．问a，b取何值时，向量组（Ⅰ），（Ⅱ）等秩且等

Question

设向量组（Ⅰ）α₁=（1，-2，-1）^T，α₂=（-2，a+3，2）^T，α₃=（-1，0，b-1）^T，（Ⅱ）β₁=（-1，4，1）^T，β₂=（3，-6，a-4）^T，β₃=（1，b-4，-1）^T．问a，b取何值时，向量组（Ⅰ），（Ⅱ）等秩且等价；等秩不等价；不等秩也不等价．

Answer 1

将阵（α₁，α₂，α₃，β₁，β₂，β₃）作初等行变换化成阶梯阵．
（α₁，α₂，α₃，β₁，β₂，β₃）=

1	−2	−1	−1	3	1
−2	a+3	0	4	−6	b−4
−1	2	b−1	1	a−4	−1

→

1	−2	−1	−1	3	1
0	a−1	−2	2	0	b−2
0	0	b−2	0	a−1	0

故当a≠1，b≠2时，R（α₁，α₂，α₃）=R（β₁，β₂，β₃）=3，且可以相互线性表示，所以α₁，α₂，α₃与β₁，β₂，β₃秩相等且等价；
当a=1，b=2时，R（α₁，α₂，α₃）=R（β₁，β₂，β₃）=2，
等秩且可以相互线性表示；
当a=1，b≠2时，R（α₁，α₂，α₃）=R（β₁，β₂，β₃）=2，等秩，显然α₃不可由β₁，β₂，β₃线性表示，所以不等价；
当a≠1，b=2时，R（α₁，α₂，α₃）=2≠R（β₁，β₂，β₃）=3，不等秩也不等价．