线性代数问题.急设η1,η2,η3……ηt是非齐次线性方程组AX=0的解,证明：k1η1+k2η2……+ktηt也是AX=b的一个解的充分必要条件是k1+k2+k3……+kt=1原题有一点错，应是：设η1，η2，η3……ηt是非齐

Question

线性代数问题.急
设 η1,η2,η3……ηt是非齐次线性方程组AX=0的解,证明：k1η1+k2η2……+ktηt也是AX=b的一个解的充分必要条件是k1+k2+k3……+kt=1
原题有一点错，应是：设 η1，η2，η3……ηt是非齐次线性方程组AX=b的解，证明：k1η1+k2η2……+ktηt也是AX=b的一个解的充分必要条件是k1+k2+k3……+kt=1

Answer 1

这个挺容易证明的啊,不过如楼上说的,题目应该是“η1,η2,η3……ηt是非齐次线性方程组AX=b的解”.直接代入就行了
充分性：k1+k2+k3……+kt=1 则 k1η1+k2η2……+ktηt也是AX=b的一个解
证明：由η1,η2,η3……ηt是非齐次线性方程组AX=b的解,则
Aη1 =b,...,Aηt=b
从而A（k1η1+k2η2……+ktηt）= k1Aη1+...+ktAηt = k1b+...+ktb = (k1+k2+k3……+kt)b=b
即k1η1+k2η2……+ktηt也是AX=b的一个解,充分性得证
必要性：k1η1+k2η2……+ktηt是AX=b的一个解,则k1+k2+k3……+kt=1
由η1,η2,η3……ηt是非齐次线性方程组AX=b的解,则
Aη1 =b,...,Aηt=b,
又 k1η1+k2η2……+ktηt是AX=b的一个解,
则A( k1η1+k2η2……+ktηt)=b
即A（k1η1+k2η2……+ktηt）= k1Aη1+...+ktAηt = k1b+...+ktb = (k1+k2+k3……+kt)b=b
从而k1+k2+k3……+kt=1
必要性也得证.
综上,k1η1+k2η2……+ktηt也是AX=b的一个解的充分必要条件是k1+k2+k3……+kt=1