（1）设α1，α2，β1，β2均是三维列向量，且α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量ζ，使得ζ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出．（2）当α1=134，α2=255，β1=23−1

Question

（1）设α₁，α₂，β₁，β₂均是三维列向量，且α₁，α₂线性无关，β₁，β₂线性无关，证明存在非零向量ζ，使得ζ既可由α₁，α₂线性表出，又可由β₁，β₂线性表出．
（2）当α₁=

1

3

4

，α₂=

2

5

5

，β₁=

2

3

−1

，β₂=

−3

−4

3

时，求所有既可由α₁，α₂线性表出，又可由β₁，β₂线性表出的向量．

Answer 1

（1）由于α₁，α₂，β₁，β₂都是3维向量，向量的个数是4
因此，它们线性相关，即存在不全为零的实数k₁、k₂，l₁、l₂使得
k₁α₁+k₂α₂+l₁β₁+l₂β₂=0
∴k₁α₁+k₂α₂=-（l₁β₁+l₂β₂）
其中实数k₁、k₂，l₁、l₂不全为零
∴存在非零向量γ，使得γ=k₁α₁+k₂α₂=-（l₁β₁+l₂β₂）
这样γ既可由α₁，α₂线性表出，又可由β₁，β₂线性表出
（2）由（1）令γ=k₁α₁+k₂α₂=-（l₁β₁+l₂β₂），即
k₁α₁+k₂α₂+l₁β₁+l₂β₂=0
而（α₁，α₂，β₁，β₂）=

1	2	2	−3
3	5	3	−4
4	5	−1	3

1	2	2	−3
0	−1	−3	5
0	−3	−9	15

1	2	2	−3
0	1	3	−5
0	0	0	0

1	0	−4	7
0	1	3	−5
0	0	0	0

∴解得：(k1，k2，l1，l2)T=c1(4，−3，1，0)T+c2(−7，5，0，1)T
∴γ=kα₁+kα₂=(4c1−7c2)

1

3

4

+(−3c1+5c2)

2

5

5

，c₁、c₂为任意实数．