已知当x∈[0，1]时，不等式x2cosθ-x（1-x）+（1-x）2sinθ＞0恒成立，其中0≤θ≤2π，求θ的取值范围．

Question

已知当x∈[0，1]时，不等式x²cosθ-x（1-x）+（1-x）²sinθ＞0恒成立，其中0≤θ≤2π，求θ的取值范围．

Answer 1

设f（x）=x²•cosθ-x•（1-x）+（1-x）²•sinθ=（1+sinθ+cosθ）x²-（2sinθ+1）x+sinθ
①若1+cosθ+sinθ=0，
即θ＝π或(3)/(2)π时，原不等式不恒成立．
②若1+cosθ+sinθ≠0，即θ≠π或(3)/(2)π时，∵f（x）在[0，1]的最小值为f（0）或f（1）或f[(2sinθ+1)/(2(1+cosθ+sinθ))]
∴

f(0)＞0

f(1)＞0

f[(2sinθ1)/(2(1+cosθ+sinθ))]＞0

由第1个不等式得sinθ＞0，由第2个不等式得cosθ＞0，由第3个不等式得sinθ＞(1)/(2)
又∵0≤θ≤2π，
∴(π)/(12)＜θ＜(π)/(2)．