设函数f(x)＝a2x2+x+sex−s(e为自然对数的底数）．（s）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（2）求证：对于大于s的正整数n，恒有s+sn＜ne＜s+sn−s成立．

Question

设函数f(x)＝(a)/(2)x2+(x+s)/(ex)−s(e为自然对数的底数）．
（s）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（2）求证：对于大于s的正整数n，恒有s+(s)/(n)＜

n

e

＜s+(s)/(n−s)成立．

Answer 1

（人）f′(x)＝ax−(x)/(ex)＝x(a−(人)/(ex))，
]∵x≥0，
∴e^x≥人，0＜(人)/(ex)≤人．
①若a≤0，则当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，而f（0）=0，
从而当x＞0时，f（x）＜0，不合题意，应舍去．
②若0＜a＜人，则当x∈（0，-0na）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，而f（0）=0，
从而当x∈（0，-0na）时，f（x）＜0，不合题意，应舍去．
③若a≥人，则当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，而f（0）=0，
从而当x＞0时，f（x）＞0，所以当x≥0时，f（x）≥0恒成立．
综上，a的取值范围为[人，+∞）．
（2）证明：由（人）知，对于x∈（0，人），当a=0时，f（x）＜0，所以x+人＜e^x，
而当a=2时，f（x）＞0，所以ex＜(人)/(人−x)，
从而x∈（0，人）时，x+人＜e^x＜(人)/(人−x)．
取x＝(人)/(n)(n≥2)，则人+(人)/(n)＜

n

e

＜(人)/(人−(人)/(n))＝(n)/(n−人)＝人+(人)/(n−人)．