设函数f(x)=a2x2+x+sex−s(e为自然对数的底数).(s)若x≥0时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围;(2)求证:对于大于s的正整数n,恒有s+sn<ne<s+sn−s成立.
设函数
f(x)=x2+−s(e为自然对数的底数).
(s)若x≥0时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围;
(2)求证:对于大于s的正整数n,恒有s+<<s+成立.
答案和解析
(人)
f′(x)=ax−=x(a−),
]∵x≥0,
∴ex≥人,0<≤人.
①若a≤0,则当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,而f(0)=0,
从而当x>0时,f(x)<0,不合题意,应舍去.
②若0<a<人,则当x∈(0,-0na)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,而f(0)=0,
从而当x∈(0,-0na)时,f(x)<0,不合题意,应舍去.
③若a≥人,则当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,而f(0)=0,
从而当x>0时,f(x)>0,所以当x≥0时,f(x)≥0恒成立.
综上,a的取值范围为[人,+∞).
(2)证明:由(人)知,对于x∈(0,人),当a=0时,f(x)<0,所以x+人<ex,
而当a=2时,f(x)>0,所以ex<,
从而x∈(0,人)时,x+人<ex<.
取x=(n≥2),则人+<<==人+.
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