设A是n阶可逆方阵,且每一行之和都为非零常数a,证明A的逆矩阵的每一行之和为1/a.

Question

设A是n阶可逆方阵,且每一行之和都为非零常数a,证明A的逆矩阵的每一行之和为1/a.

Answer 1

证明：
设A的逆矩阵为B,n维列向量β=(1,1,1,……,1)'
对任何矩阵M,列向量Mβ每个分量即为对应于M的每行之和
BA=E
两边右乘列向量β：
BAβ=β
∵A的每一行之和为a
∴Aβ=aβ
∴BAβ=B(Aβ)=B(aβ)=a(Bβ)=β
∴Bβ=(1/a)β
∴B的每一行之和为1/a
证毕!
【这个题的背景是可逆矩阵A和其逆矩阵特征值的关系,
如果a为A的一个特征值那么其逆矩阵就对应的有特征值1/a】