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已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,点D是斜边的中点,经过点C引一条直线l(不与AC、BC重合并且不经过点D)操作:经过点A作AE⊥l,经过点B作BF⊥l,连接DE、DF,猜想△DEF的形状并证明.
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已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,点D是斜边的中点,经过点C引一条直线l(不与AC、BC重合并且不经过点D)
操作:经过点A作AE⊥l,经过点B作BF⊥l,连接DE、DF,猜想△DEF的形状并证明.
操作:经过点A作AE⊥l,经过点B作BF⊥l,连接DE、DF,猜想△DEF的形状并证明.
▼优质解答
答案和解析
△DEF为等腰直角三角形;
证明:如图,连接CD,∵AE⊥CE,BF⊥CE,
∴∠AEC=∠BFC=90°,
∵∠ACE+∠BCF=90°,∠BCF+∠CBF=90°,
∴∠ACE=∠CBF,
在△ACE与△CBF中,
,
∴△ACE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF,∠CAE=∠BCF,
∵∠CAB=∠DCB=45°,
∴∠FCD=∠DAE,
又AD=CD,
∴△AED≌△CFD,
∴ED=FD,∠ADE=∠CDF,
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.
证明:如图,连接CD,∵AE⊥CE,BF⊥CE,
∴∠AEC=∠BFC=90°,
∵∠ACE+∠BCF=90°,∠BCF+∠CBF=90°,
∴∠ACE=∠CBF,
在△ACE与△CBF中,
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∴△ACE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF,∠CAE=∠BCF,
∵∠CAB=∠DCB=45°,
∴∠FCD=∠DAE,
又AD=CD,
∴△AED≌△CFD,
∴ED=FD,∠ADE=∠CDF,
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.
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