原函数积分加反函数积分…我总不可能画个图吧…怎办…原函数f(x)在[a,b]上单调递增,a>0,f(x)>0,g(x)是f(x)反函数,c=f(a),d=f(b),求f(x)在[a,b]上的积分加上g(x)在[c,d]上的积分……画个草图能看出来是

Question

原函数积分加反函数积分…我总不可能画个图吧…怎办…
原函数f(x)在[a,b]上单调递增,a>0,f(x)>0,g(x)是f(x)反函数,c=f(a),d=f(b),求f(x)在[a,b]上的积分加上g(x)在[c,d]上的积分……画个草图能看出来是一个大矩形减一个小矩形答案是bd-ac,可是我总不能画个图用特例来说吧……怎么说啊……

Answer 1

对定积分∫(c→d)g(x)dx使用变换x＝f(y),则
∫(c→d)g(x)dx＝∫(a→b)g(f(y))df(y)＝∫(a→b) ydf(y)＝bf(b)－af(a)－∫(a→b) f(x))dx
所以,∫(a→b) f(x)dx＋∫(c→d) g(x)dx＝bf(b)－af(a)＝bd－ac