高数问题原函数在某点是否可导与导函数在该点什么性质有关?存在极限?连续?还是有定义即有确定函数值?求高人解答!能给出论证最好,感激不尽!…探讨导函数而不是原函数性质额,且连续是

Question

高数问题
原函数在某点是否可导与导函数在该点什么性质有关?存在极限?连续?还是有定义即有确定函数值?求高人解答!能给出论证最好,感激不尽!
…探讨导函数而不是原函数性质额,且连续是不一定可导.还是感谢~那问直接点吧:原函数在某点的可导性与导函数在该点的连续性作何相关?

Answer 1

若导函数在某点连续,则原函数在该点当然可导；
若原函数在某点可导,则导函数在该点未必连续,甚至导函数都不一定存在.
比如说x^2D(x)在0点可导,但不存在导函数,更谈不上导函数的连续性了,因为该函数在非0点都不连续,当然也不可导.其中D(x)表示狄立克莱函数.
这些都是概念性的东西,没什么好论证的,仔细看看导函数以及导数的定义就好了.
首先函数要在一个区间内的每一点都可导,才有导函数一说,在此基础上才谈得上导函数的连续性、极限值等其它种种.
当然两者之间也是有紧密联系的,那就是当导函数存在的时候,导函数在某点的函数值就等于函数在该点的导数值.但一定要注意,这并不意味着导函数在该点连续.