如图，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，连接OE，OF．AO的延长线交BC于点D，AC=6，CD=2．（1）求证：四边形OECF为正方形；（2）求⊙O的半径；（3）求AB的长．

Question

如图，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，连接OE，OF．AO的延长线交BC于点D，AC=6，CD=2．
（1）求证：四边形OECF为正方形；
（2）求⊙O的半径；
（3）求AB的长．

Answer 1

（1）证明：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，
∴∠C=∠CFO=∠CEO=90°，
∴四边形CFOE是矩形，
∵OF=OE，
∴四边形OECF为正方形；

（2）由题意可得：EO∥AC，
∴△DEO∽△DCA，
∴(DE)/(CD)=(EO)/(AC)，
设⊙O的半径为x，
则(2−x)/(2)=(x)/(6)，
解得：x=1.5，
故⊙O的半径为1.5；

（3）∵⊙O的半径为1.5，AC=6，
∴CF=1.5，AF=4.5
∴AG=4.5，
设BG=BE=y，
∴在Rt△ACB中
AC²+BC²=AB²，
∴6²+（y+1.5）²=（4.5+y）²，
解得：y=3，
∴AB=AG+BG=4.5+3=7.5．