一条天津高考数列题（2007•天津）在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*）,其中λ＞0．（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列{an}的前n项和Sn；（III）证明存在k∈N*,使得对任意n

Question

一条天津高考数列题
（2007•天津）在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*）,其中λ＞0．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）求数列{an}的前n项和Sn；
（III）证明存在k∈N*,使得 对任意n∈N*均成立．
(Ⅰ)解法一：a2=2λ+λ2+(2-λ)2=λ2+22,
　　a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)22=2λ3+23,
　　a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)23=3λ4+24.
　　由此可猜想出数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.
　　以下用数学归纳法证明.
　　(1)当n=1时,a1=2,等式成立.
　　(2)假设当n=k时等式成立,即ak=(k-1)λk+2k,
　　那么ak+1=λa1+λk+1+(2-λ)2k=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k
　　=[(k+1)-1]λk+1+2k+1.
　　这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式an=(n-1)λn+2n对任何n∈N*都成立.
　　解法二：由an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),λ＞0,
　　可得,
　　所以为等差数列,其公差为1,首项为0.故,所以数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.
　　(Ⅱ)解：设Tn=λ2+2λ3+3λ4+…+(n-2)λn-1+(n-1)λn,①
　　λTn=λ3+2λ4+3λ5+…+(n-2)λn+(n-1)λn+1.②
　　当λ≠1时,①式减去②式,
　　得,
　　.
　　这时数列{an}的前n项和.
　　当λ=1时,.这时数列{an}的前n项和.
　　(Ⅲ)证明：通过分析,推测数列的第一项最大,下面证明：
　　,n≥2.　　　　③
　　由λ＞0知an＞0,要使③式成立,只要2an+1＜(λ2+4)an(n≥2).
　　因为(λ2+4)an=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+1)2n
　　＞4λ·(n-1)λn+4×2n=4(n-1)λn+1+2n+2
　　≥2nλn+1+2n+2=2an+1,n≥2,
　　所以③式成立.
　　因此,存在k=1,使得对任意n∈N*均成立.
不懂的是最后第三题
(λ2+4)an=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+1)2n
　　＞4λ·(n-1)λn+4×2n
为什么λ^2+4下面变成了>4λ,是为什么,均值不等式吗,那为什么不是>=4λ,还有λ^2为什么变成了4了,

Answer 1

(a+b)^2>=0 a^2+b^2>=2ab λ^2看成a^2,4看成b^2.