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(2010•徐汇区二模)设数列{an}(n=1,2,…)是等差数列,且公差为d,若数列{an}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.(1)若a1=4,d=2,判断该数列是
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(2010•徐汇区二模)设数列{an}(n=1,2,…)是等差数列,且公差为d,若数列{an}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.
(1)若a1=4,d=2,判断该数列是否为“封闭数列”,并说明理由?
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,若公差d=1,a1>0,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使
(
+
+…+
)=
;若存在,求{an}的通项公式,若不存在,说明理由;
(3)试问:数列{an}为“封闭数列”的充要条件是什么?给出你的结论并加以证明.
(1)若a1=4,d=2,判断该数列是否为“封闭数列”,并说明理由?
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,若公差d=1,a1>0,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使
lim |
n→∞ |
1 |
S1 |
1 |
S2 |
1 |
Sn |
11 |
9 |
(3)试问:数列{an}为“封闭数列”的充要条件是什么?给出你的结论并加以证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)数列{an}是“封闭数列”,因为:an=4+(n-1)•2=2n+2,
对任意的m,n∈N*,有am+an=(2m+2)+(2n+2)=2(m+n+1)+2,
∵m+n+1∈N*于是,令p=m+n+1,则有ap=2p+2∈{an}
(2)由{an}是“封闭数列”,得:对任意m,n∈N*,必存在p∈N*使a1+(n-1)+a1+(m-1)=a1+(p-1)成立,
于是有a1=p-m-n+1为整数,
又∵a1>0
∴a1是正整数.
若a1=1则Sn=
,所以
(
+
++
)=2>
,
若a1=2,则Sn=
,所以
(
+
++
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若a1≥3,则Sn=
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综上所述,a1=2,
∴an=n+1(n∈N*),显然,该数列是“封闭数列”.
(3)结论:数列{an}为“封闭数列”的充要条件是存在整数m≥-1,使a1=md.
证明:(必要性)任取等差数列的两项as,at(s≠t),若存在ak使as+at=ak,则2a1+(s+t-2)d=a1+(k-1)d⇒a1=(k-s-t+1)d
故存在m=k-s-t+1∈Z,使a1=md,
下面证明m≥-1.当d=0时,显然成立.
对d≠0,若m<-1,则取p=-m≥2,对不同的两项a1,ap,
存在aq使a1+ap=aq,
即2md+(-m-1)d=md+(q-1)d⇒qd=0,
这与q>0,d≠0矛盾,
故存在整数m≥-1,使a1=md.
(充分性)若存在整数m≥-1使a1=md,则任取等差数列的两项as,at(s≠t),
于是as+at=a1+(s-1)d+md+(t-1)d=a1+(s+m+t-2)d=as+m+t-1
由于s+t≥3,m≥-1
∴s+t+m-1为正整数,
∴as+m+t-1∈{an}证毕.
对任意的m,n∈N*,有am+an=(2m+2)+(2n+2)=2(m+n+1)+2,
∵m+n+1∈N*于是,令p=m+n+1,则有ap=2p+2∈{an}
(2)由{an}是“封闭数列”,得:对任意m,n∈N*,必存在p∈N*使a1+(n-1)+a1+(m-1)=a1+(p-1)成立,
于是有a1=p-m-n+1为整数,
又∵a1>0
∴a1是正整数.
若a1=1则Sn=
n(n+1) |
2 |
lim |
n→∞ |
1 |
S1 |
1 |
S2 |
1 |
Sn |
11 |
9 |
若a1=2,则Sn=
n(n+3) |
2 |
lim |
n→∞ |
1 |
S1 |
1 |
S2 |
1 |
Sn |
11 |
9 |
若a1≥3,则Sn=
n(2a1+n−1) |
2 |
n(n+3) |
2 |
1 |
Sn |
2 |
n(n+3) |
lim |
n→∞ |
1 |
S1 |
1 |
S2 |
1 |
Sn |
11 |
9 |
综上所述,a1=2,
∴an=n+1(n∈N*),显然,该数列是“封闭数列”.
(3)结论:数列{an}为“封闭数列”的充要条件是存在整数m≥-1,使a1=md.
证明:(必要性)任取等差数列的两项as,at(s≠t),若存在ak使as+at=ak,则2a1+(s+t-2)d=a1+(k-1)d⇒a1=(k-s-t+1)d
故存在m=k-s-t+1∈Z,使a1=md,
下面证明m≥-1.当d=0时,显然成立.
对d≠0,若m<-1,则取p=-m≥2,对不同的两项a1,ap,
存在aq使a1+ap=aq,
即2md+(-m-1)d=md+(q-1)d⇒qd=0,
这与q>0,d≠0矛盾,
故存在整数m≥-1,使a1=md.
(充分性)若存在整数m≥-1使a1=md,则任取等差数列的两项as,at(s≠t),
于是as+at=a1+(s-1)d+md+(t-1)d=a1+(s+m+t-2)d=as+m+t-1
由于s+t≥3,m≥-1
∴s+t+m-1为正整数,
∴as+m+t-1∈{an}证毕.
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