14、n个正整数a1,a2,……an满足如下条件：1=a1＜a2＜a3＜……＜an=2009,且a1,a2,……an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数,求n的最大值设a1,a2,……an中去掉ai后剩下的n-1个数的算术平均数

Question

14、n个正整数a1,a2,……an满足如下条件：
1=a1＜a2＜a3＜……＜an=2009,且a1,a2,……an中
任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数,
求n的最大值
设a1,a2,……an中去掉ai后剩下的n-1个数的
算术平均数为正整数bi（i=1,2,……n,即
bi=
于是,对于任意的1≤i＜j≤n,都有bi-bj=aj-ain-1
从而,n-1∣（aj-ai）……5分
由于b1-bn=an-a1n-1 =2008n-1 是正整数,故n-1∣2的3次方×251……10分
由于an-a1=（an-an-1）+（an-1-an-2）+……+（a2-a1）≥+(n-1)+(n-1)+……（n-1）=（n-1）2
∴（n-1）2≤2008,于是n≤45,结合n-1∣2的3次方×251,∴n≤9,
另一方面,令a1=8×0+1,a2=8×1+1,a3=8×2+1,……a8=8×7+1,a9=8×251+1,则这9个数满足题设要求,综上所述,n的最大值为9……20分
这个答案看不懂,谁能帮我解析下

Answer 1

(1)“于是,对于任意的1≤i＜j≤n,都有bi-bj=aj-ain-1”
中“bi-bj=aj-ain-1”
应该是因为
bi=(a1+a2+...+an-ai)/(n-1);
bj=(a1+a2+...+an-aj)/(n-1);
所以
“bi-bj=（aj-ai）/（n-1);
（2）
“由于b1-bn=an-a1n-1 =2008n-1 是正整数,故n-1∣2的3次方×251……10”中
改为
“由于b1-bn=(an-a1)/(n-1) =2008/(n-1) 是正整数,2008=2x2x2x251,故n-1整除2³x251……10”
（3）“由于an-a1=（an-an-1）+（an-1-an-2）+……+（a2-a1）≥+(n-1)+(n-1)+……（n-1）=（n-1）”中
改为
“由于an-a1=an-（an-1）+（an-1）-（an-2）+……+a2-a1=[an-（an-1）]+[（an-1）-（an-2）]+……+（a2-a1）
因为a1到an中无论去掉哪一个除以（n-1）都得正整数所以需要相邻的两个数的差大于等于n-1才能保证；
所以an-a1=an-（an-1）+（an-1）-（an-2）+……+a2-a1=[an-（an-1）]+[（an-1）-（an-2）]+……+（a2-a1）≥+(n-1)+(n-1)+……（n-1）≥+(n-1)+(n-1)+……（n-1）=（n-1）²”即an-a1≥（n-1）²；
（4）∴（n-1）2≤2008,于是n≤45,结合n-1整除2³x251,∴n≤9
还有不懂得地方可以问我给我留言谢谢