已知正整数λ，μ为常数，且λ≠1，无穷数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn，且Sn=λan-μ．n∈N*．记数列{an}中任意不同两项的和构成的集合为A．（1）求证：数列{an}为等比数列，并求λ

Question

已知正整数λ，μ为常数，且λ≠1，无穷数列{a_n}的各项均为正整数，其前n项和为S_n，且S_n=λa_n-μ．n∈N^*．记数列{a_n}中任意不同两项的和构成的集合为A．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列，并求λ的值；
（2）若2015∈A，求μ的值；
（3）已知m≥1，求集合{x|3μ•2^n-1<x<3μ•2ⁿ，x∈A}的元素个数．

Answer 1

（1）证明：∵S_n=λa_n-μ．当n≥2时，S_n-1=λa_n-1-μ，
∴a_n=λa_n-λa_n-1，λ≠1，∴(an)/(an-1)=(λ)/(λ-1)，
∴数列{a_n}为等比数列，
∵各项均为正整数，则公比(λ)/(λ-1)=1+(1)/(λ-1)为正整数，λ为正整数，
∴λ=2．
（2） 由（1）可得：S_n=2a_n-μ，当n=1时，a₁=μ，则a_n=μ•2^n-1，
∴A={μ（2^i-1+2^j-1）|1≤i<j，i，j∈N^*}，
∵2015∈A，∴2015=μ（2^i-1+2^j-1）=μ•2^i-1（1+2^j-i）=5×13×31，
∵j-i>0，则1+2^j-i必为不小于3的奇数，
∵2^i-1为偶数时，上式不成立，因此必有2^i-1=1，∴i=1，
∴μ（1+2^j-1）=5×13×31，
只有j=3，μ=403或j=7，μ=31时，上式才成立，
∴μ=31或403．
（3） 当n≥1时，集合B_n={x|3μ•2^n-1<x<3μ•2ⁿ，x∈A}，
即3μ•2^n-1<μ（2^i-1+2^j-1）<3μ•2ⁿ，1≤i<j，i，j∈N^*．B_n中元素个数，
等价于满足3×2ⁿ<2ⁱ+2^j<3×2ⁿ⁺¹的不同解（i，j），
若j>n+2，则2ⁱ+2^j≥2ⁱ+2ⁿ⁺³=2ⁱ+4×2ⁿ⁺¹>3×2ⁿ⁺¹，矛盾．
若j<n+2，则2ⁱ+2^j≤2ⁱ+2ⁿ⁺¹≤2ⁿ+2ⁿ⁺¹=3×2ⁿ，矛盾．
∴j=n+2，又∵（2¹+2ⁿ⁺²）-3×2ⁿ=2+4×2ⁿ-3×2ⁿ=2+2ⁿ>0，
∴3×2ⁿ<2¹+2ⁿ⁺²<2²+2ⁿ⁺²<…<2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=3×2ⁿ⁺¹，
即i=1，2，…，n时，共有n个不同的解（i，j），即共有n个不同的x∈B_n，
∴b_n=n（n∈N^*）．