已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，an=f(2n)n（n∈N*），bn=f(2n)2n（n∈N*）.考查下列结论:①f（0）=f（1）；②f（x）为偶函数

Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，an=(f(2n))/(n)（n∈N^*），bn=(f(2n))/(2n)（n∈N^*）.考查下列结论:①f（0）=f（1）；②f（x）为偶函数；③数列{a_n}为等比数列；④{b_n}为等差数列.其中正确的是（　　）
A. ①②③
B. ①③④
C. ③④
D. ①③

Answer 1

因每一选项均有③，所以不需验证③，令a=b=0，得到f（0）=0；a=b=1，得到f（1）=0，故①正确，排除C，f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，（n∈N*），bn=f(2n)2n，bn+1=f(2n+1)2n+1=f(2•2n)2n+1=2f(2n)+2nf(2)2n+1...