三个互不相同的是正整数,若任何两个数的乘积与1的和都恰好能被第三个数整除.则称这样的三个数为“好数值”1.证明好数值中的三个整数两两互质2.求出所有的好数值

Question

三个互不相同的是正整数,若任何两个数的乘积与1的和都恰好能被第三个数整除.则称这样的三个数为“好数值”
1.证明好数值中的三个整数两两互质
2.求出所有的好数值

Answer 1

假设这3个整数不是22互质的,则存在数a,b,c,其中b是a的倍数,c与a,b互质.
而何两个数的乘积与1的和都恰好能被第三个数整除,则有
b*c+1能被a整除,因为a,c互质所以a不可能是1,而b是a的倍数所以b*c也是a的倍数,而b*c+1一定不能被a整除,与题设矛盾,所以假设不成立,即这3个整数22互质.
下面讨论则3个数的奇偶性,
若3个数全是奇数,则,奇数*奇数+1是偶数,这个数一定不是一个奇数的倍数,所以这3个数不全为奇数,
同理得这3个数不全为偶数；
若这3个数是偶,偶,奇的话,奇*偶+1是奇数,这个数一定不是奇数的倍数,所以这3个数不是偶,偶,奇
所以这3个数的奇偶性只能是奇,奇,偶的形式.
假设a,b是奇数,c是偶数,则
a*b+1是c的倍数;a*c+1是b的倍数;b*c+1是a的倍数.
（第二问还没想好,想出来再说吧!）
2,3,7是满足题设的一组数