已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是边长为3的正方形,棱AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC与BC1所成角的余弦；P为BC的中点,在棱AA1上是否存在一点Q使得PQ垂直BC1,带详解,

Question

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是边长为3的正方形,棱AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=60°,
求AC与BC1所成角的余弦；
P为BC的中点,在棱AA1上是否存在一点Q使得PQ垂直BC1,带详解,

Answer 1

向量法.
(1)
设向量AB=e1,AD=e2,AA1=e3
由题意,e1*e2=0;e2*e3=15/2;e3*e1=15/2;
向量AC*BC1=(e1+e2)*(e2+e3)=24
由余弦定理知|AC|=3根号2；|BC1|=7
cos=24/(3根号2*7)=4根号2/7.
(2)
设AQ=tAA1=te3;
QP=e1+1/2*e2-te3;
QP*BC1=(e1+1/2*e2-te3)(e2+e3)=0
t=63/130,所以这样的Q存在,st.AQ=63/130AA1.