如图1，在平面直角坐标系中，已知y轴上的点A（0，4），和第一象限内的点B（m，n），△AB0的面积为8．（1）求m的值；（2）如图2，OF、AE为△ABO的角平分线，OF、AE相交于点C，BC平分∠ABO，CH

Question

如图1，在平面直角坐标系中，已知y轴上的点A（0，4），和第一象限内的点B（m，n），△AB0的面积为8．

（1）求m的值；
（2）如图2，OF、AE为△ABO的角平分线，OF、AE相交于点C，BC平分∠ABO，CH为△ACO的高．求证：∠ACH=∠BCF；
 （3）如图3，OD为OB与x轴正半轴夹角的平分线，延长AC与OD相交于点D，当B点运动时，∠D-∠CBO的值是否不变？若是，求出该值；若不是，求出它的值的变化范围．

Answer 1

（1）∵A（0，4）
∴OA=4．
∵点B（m，n）在第一象限内，△AB0的面积为8，
∴(1)/(2)×4m=8
解得m=4；
（2）∵OF、AE为△ABO的角平分线，OF、AE相交于点C，
∴∠AOF=∠BOF=(1)/(2)∠AOB，∠OAE=∠BAE=(1)/(2)∠OAB，∠ABC=∠OBC=(1)/(2)∠ABO．
∵CH为△ACO的高，
∴∠ACH=90°．
∵∠BCF为△COB外角，
∴∠BCF=∠BOF+∠OBC=(1)/(2)∠AOB+(1)/(2)∠ABO=(1)/(2)（∠AOB+∠ABO）=(1)/(2)（180°-∠OAB）
∵∠ACH=90°-∠OAE=(1)/(2)（180°-∠OAB）
∴∠ACH=∠BCF；
（3）当B点运动时，∠D-∠CBO的值改变
证明：∵OD为OB与x轴正半轴夹角的平分线，
∴∠BOD=(1)/(2)（90°-∠AOB）．
在△AOD中
∠D=180°-∠AOD-∠AOD=180°-(1)/(2)∠OAB-∠AOB-(1)/(2)∠BOD
=135°-(1)/(2)（∠OAB+∠AOB）
=135°-(1)/(2)（180°-∠AOB）
=45°+∠ABO．
∴∠D-∠CBO=45°+∠ABO-(1)/(2)∠ABO=45°+(1)/(2)∠ABO．
∴当B点运动时，∠D-∠CBO的值改变．