如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，CD=AB，4BC2=5AD2，（1）求证：AD=AB．（2）AC、BD交于点E，AO⊥BD交BD于O，交BC于F，求证：CE=CF．（3）作点F交于点O的对称点H，试判断BH与AE的关系

Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，CD= AB，4BC ² =5AD ² ，
（1）求证：AD=AB．
（2）AC、BD交于点E，AO⊥BD交BD于O，交BC于F，求证：CE=CF．
（3）作点F交于点O的对称点H，试判断BH与AE的关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：过点C作CM⊥AB于M， ∵AB∥CD，∠DAB=90°， ∴四边形AMCD是矩形， ∴AM=CD， ∵CD= AB， ∴AM=BM， ∴AC=BC， ∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°， ∴AD 2 +CD 2 =AC 2 =BC 2 ， ∵4BC 2 =5AD 2 ， ∴CD 2 = AD 2 ， 即CD= AD， ∴AD=AB； （2）证明：由（1）知：∠ADB=∠ABD=45°， 又∵AC=BC， ∴∠CAB=∠CBA， ∴∠CAF=∠CBE， ∴在△ACF和△BCE中， ， ∴△ACF≌△BCE（ASA）， ∴CE=CF； （3）BH⊥AE． 证明：延长BH交AE于N， 由（2）可得：AE=BF， ∵F，H关于点O对称， ∴BH=BF，∠OBF=∠OBH， ∴BH=AE， ∵∠CAF=∠CBE， ∴∠OBH=∠CAF， ∴∠ANH=∠BOH=90°， 即BH⊥AE．