已知,如图,正方形ABCD的边长为1,EG//AD,FH//AB,EG和FH相交于点P,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,联结AF,AG(1)如果AE=AH,求证,AF=AG;(2)在（1）的条件下,联结FG,设BF=x,FG=y,直接写出y与x之间的函数关系式及定义

Question

已知,如图,正方形ABCD的边长为1,EG//AD,FH//AB,EG和FH相交于点P,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,联结AF,AG
(1)如果AE=AH,求证,AF=AG;
(2)在（1）的条件下,联结FG,设BF=x,FG=y,直接写出y与x之间的函数关系式及定义域(3)联结EF,如果△BEF的周长为1,求四边形HPGD的面积

Answer 1

1、∵ABCD是正方形
∴AD=AB=BC=DC
∠ABF=∠ADG=∠C=∠DAB=90°
∵EG//AD,FH//AB
∴四边形ABFH和AEGD是矩形
∴AH=BF AE=DG
∵AE=AH
∴BF=DG
在△ABF和△AGD中
BF=DG AB=AD
∠ABF=∠ADG
∴△ABF≌△AGD
∴AF=AG
2、BF=DG=x(前面已证）
FC=BC-BF=1-x
GC=1-DG=1-x
∴FG²=GC²+FC²
y²=2(1-x)²
y=√2(1-x) (0＜x＜1)
3、BE=AB-AE=AB-BF=1-x
BF=x
EF=√[x²+(1-x)²]=√(1-2x)
∴1-x+x+√(1-2x)=1
x=1/2
∴DG=BG=1/2
DH=AD-AH=AD-BF=1-1/2=1/2
∴S四边形HPGD=DG×DG=1/2×1/2=1/4