已知如图,四边形EFGH的顶点E,F,G,H分别在正方形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,且AH=DG,EF=EH=HG已知,如图,四边形EFGH的顶点E,F,G,H分别在正方形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,且AH=DG,EF=EH=HG求证,EFGH是正方形

Question

已知如图,四边形EFGH的顶点E,F,G,H分别在正方形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,且AH=DG,EF=EH=HG
已知,如图,四边形EFGH的顶点E,F,G,H分别在正方形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,且AH=DG,EF=EH=HG
求证,EFGH是正方形

Answer 1

1、∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD=BC=CD
∠A=∠B=∠C=∠D
在Rt△AEH和Rt△DHG中
AH=DG
EH=HG
∴Rt△AEH≌Rt△DHG(HL)
∴DH=AE
∠DEG=∠AEH
∵∠AEH+∠AHE=90°
∴∠AHE+∠DHG=90°
∴∠EHG=90°
2、∵DH=AE,AD=AB
∴AH=BE
∵EH=EF
∴Rt△AEH和Rt△BEF
∴AE=BF
∠AEH=∠BFE
∵∠BEF+∠BFE=90°
∴∠BEF+∠AEH=90°
∴∠HEF=90°
3、∵AE=BF,AB=BC
∴BE=CF=DG
∵CD=BC
∵CG=BF
∴Rt△BEF≌和Rt△CFG
∴EF=FG
∠GFC=∠BEF
∵∠BEF+∠BFE=90°
∴∠BFE+∠GFC=90°
∴∠EFG=90°
4、在四边形EFGH中
∠EHG=∠HEF=∠EFG=90°
EF=EH=HG=FG
∴四边形EFGH是正方形