（2010•哈尔滨）已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM．（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE=2MD；（2）如

Question

（2010•哈尔滨）已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM．
（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE=

2

MD；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：AE=2MDAE=2MD．
（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=2

7

，求tan∠ACP的值．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接AD．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC=45°，
∴BD=AB•cos∠ABC即AB=

2

BD．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴(AE)/(DM)＝(AB)/(DB)＝

2

，
∴AE=

2

MD．

（2）∵cos60°=(1)/(2)，
∴MD=AE•cos∠ABC=AE•(1)/(2)，即AE=2MD．
∴AE=2MD；

（3）如图2，连接AD，EP．
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=(1)/(2)AB．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴(BE)/(BM)＝(AB)/(DB)＝2，
∠AEB=∠DMB．
∴EB=2BM．
又∵BM=MP，
∴EB=BP．
∵∠EBM=∠ABC=60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°，
∴∠AEB=90°．
在Rt△AEB中，AE=2

7

，AB=7，
∴BE=

AB2−AE2

＝

21

．
∴tan∠EAB=(3)/(2)．
∵D为BC中点，M为BP中点，
∴DM∥PC．
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB．
∴tan∠PCB=(3)/(2)．
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=(7)/(2)

3

，
在Rt△NDC中，ND=DC•tan∠NCD=(7)/(4)

3

，
∴NA=AD-ND=(7)/(4)

3

．
过N作NH⊥AC，垂足为H．
在Rt△ANH中，NH=(1)/(2)AN=(7)/(8)

3

，AH=AN•cos∠NAH=(21)/(8)，
∴CH=AC-AH=(35)/(8)，
∴tan∠ACP=(3)/(5)．