正方形ABCD的边长为2,点E在边AD上移动,连接BE,作AP垂直于BE于P,连接CP,点Q在AB上,且AQ=AE,连接PQ.（1）求证：三角形APE相似于三角形BPA.（2）求证：PQ垂直于PC.（3）点E从A向D移动,是否存在点E,使PC=BC

Question

正方形ABCD的边长为2,点E在边AD上移动,连接BE,作AP垂直于BE于P,连接CP,点Q在AB上,且AQ=AE,连接PQ.
（1）求证：三角形APE相似于三角形BPA.
（2）求证：PQ垂直于PC.
（3）点E从A向D移动,是否存在点E,使PC=BC?并求此时AE长.

Answer 1

（1）∵∠EAP＋∠PAB＝90°
又∵AP垂直BE,∴∠PAB＋∠ABP＝90°
∴∠EAP＝∠ABP,又∵∠APE＝∠APB＝90°
∴ΔAPE相似于ΔBPA
（2）∵ ΔAPE相似于ΔBPA,
∴AE：AB＝AP：BP,∵AE＝AQ,AB＝BC
∴AQ：BC＝AP：BP
又∵ ΔAPE相似于ΔBPA,AD//BC
∴∠BAP＝∠AEP＝∠PBC
∴ΔBPC相似于ΔAPQ
∴∠BPC＝∠APQ
又∵∠APQ＋∠QPB＝90°
∴∠BPC＋∠QPB＝90°
∴PQ垂直于PC
（3）由（1）知 ΔAPE相似于ΔBPA
∴当PC＝BC时PQ＝AQ,易知此时Q为AB的中点.
∵AQ＝AE∴E也应为AD中点
∴此时AE＝1.