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正方形ABCD的边长为2,点E在边AD上移动,连接BE,作AP垂直于BE于P,连接CP,点Q在AB上,且AQ=AE,连接PQ.(1)求证:三角形APE相似于三角形BPA.(2)求证:PQ垂直于PC.(3)点E从A向D移动,是否存在点E,使PC=BC
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正方形ABCD的边长为2,点E在边AD上移动,连接BE,作AP垂直于BE于P,连接CP,点Q在AB上,且AQ=AE,连接PQ.
(1)求证:三角形APE相似于三角形BPA.
(2)求证:PQ垂直于PC.
(3)点E从A向D移动,是否存在点E,使PC=BC?并求此时AE长.
(1)求证:三角形APE相似于三角形BPA.
(2)求证:PQ垂直于PC.
(3)点E从A向D移动,是否存在点E,使PC=BC?并求此时AE长.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵∠EAP+∠PAB=90°
又∵AP垂直BE,∴∠PAB+∠ABP=90°
∴∠EAP=∠ABP,又∵∠APE=∠APB=90°
∴ΔAPE相似于ΔBPA
(2)∵ ΔAPE相似于ΔBPA,
∴AE:AB=AP:BP,∵AE=AQ,AB=BC
∴AQ:BC=AP:BP
又∵ ΔAPE相似于ΔBPA,AD//BC
∴∠BAP=∠AEP=∠PBC
∴ΔBPC相似于ΔAPQ
∴∠BPC=∠APQ
又∵∠APQ+∠QPB=90°
∴∠BPC+∠QPB=90°
∴PQ垂直于PC
(3)由(1)知 ΔAPE相似于ΔBPA
∴当PC=BC时PQ=AQ,易知此时Q为AB的中点.
∵AQ=AE∴E也应为AD中点
∴此时AE=1.
又∵AP垂直BE,∴∠PAB+∠ABP=90°
∴∠EAP=∠ABP,又∵∠APE=∠APB=90°
∴ΔAPE相似于ΔBPA
(2)∵ ΔAPE相似于ΔBPA,
∴AE:AB=AP:BP,∵AE=AQ,AB=BC
∴AQ:BC=AP:BP
又∵ ΔAPE相似于ΔBPA,AD//BC
∴∠BAP=∠AEP=∠PBC
∴ΔBPC相似于ΔAPQ
∴∠BPC=∠APQ
又∵∠APQ+∠QPB=90°
∴∠BPC+∠QPB=90°
∴PQ垂直于PC
(3)由(1)知 ΔAPE相似于ΔBPA
∴当PC=BC时PQ=AQ,易知此时Q为AB的中点.
∵AQ=AE∴E也应为AD中点
∴此时AE=1.
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