如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∠BAC=90°，AA1⊥BC，AA1=AC=2AB=4，且BC1⊥A1C（1）求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1（2）设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使DE∥平面AB

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁是矩形，∠BAC=90°，AA₁⊥BC，AA₁=AC=2AB=4，且BC₁⊥A₁C

（1）求证：平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁
（2）设D是A₁C₁的中点，判断并证明在线段BB₁上是否存在点E，使DE∥平面ABC₁，若存在，求点E到平面ABC₁的距离．

Answer 1

（1）证明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁是矩形，
∴AA₁⊥AB，又AA₁⊥BC，AB∩BC=B，
∴AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥AC，又AA₁=AC，∴A₁C⊥AC₁，
又BC₁⊥A₁C，BC₁∩AC₁=C₁，
∴A₁C⊥平面ABC₁，又A₁C⊂平面A₁ACC₁，
∴平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁ ；
（2） 当E为BB₁的中点时，连接AE，EC₁，DE，
如图，取AA₁的中点F，连接EF，FD，
∵EF∥AB，DF∥AC₁，
又EF∩DF=F，AB∩AC₁=A，
∴平面EFD∥平面ABC₁，又DE⊂平面EFD，
∴DE∥平面ABC₁，
又∵VE-ABC1=VC1-ABE，C₁A₁⊥平面ABE，
设点E到平面ABC₁ 的距离为d，
∴(1)/(3)×(1)/(2)×2×4√(2)×d=(1)/(3)×(1)/(2)×2×2×4，得d=√(2)，
∴点E到平面ABC₁的距离为√(2)．